Main Tasks of Classical Theory of Gearing and Problems of Optimization Synthesis of Tooth Surface

Babichev D.T.

Abstract


The classical theory of gearing (by Faydor Litvin) includes two main tasks: 1) Task of Synthesis: the tooth surface of one gearwheel is known, the tooth surface of the second gearwheel is to be determined. 2) Task of Analysis (reverse task): the tooth surfaces of two moving members are known, the law of motion is to be determined. It is proposed to add the third task to two main tasks of the theory of gearing: tooth surface synthesis according to the assigned surface of meshing. From mathematical point of view, this task is different significantly as compared to two common ones. It is not reduced to the Task of Synthesis by Litvin. It is solved by integrating the differential equation of meshing by numerical methods. One of the reasons of innovation is the perspective of optimization synthesis of the tooth surface based on analysis of quality indicators in all possible contact points (by Sergey Lagutin - in all space of meshing). Within such a synthesis, the line or surface of meshing is firstly synthesized: they are drawn in areas with the most favorable or assigned values of the chosen criterion of the load capacity. Surfaces of contacting teeth are determined after synthesis of the line (surface) of meshing. Certain problems are considered, that appear at optimization synthesis based on analysis of features of the space of meshing: the dualism of the task of gear synthesis when using the reduced radius of curvature in the target function, the problem of the target function degeneration and oth. For eliminating some of these problems, the local quality criteria is required that estimates the local positive effect and simultaneously influences the global indicator (first of all, the contact ratio). It is proposed and substantiated to apply the specific work of surfaces AF as such a criterion.

Keywords


theory of gearing; quality parameters of higher pairs; optimization synthesis of tooth flanks

Full Text

Об основных задачах классической теории зацеплений В известной монографии Ф. Л. Литвина [1] (1968), ставшей классической по теории зубчатых зацеплений, в качестве основных названы две задачи (цит. по [2, § 40]): 1. Задача синтеза трехзвенного зубчатого механизма: заданы схема механизма, его закон движения и поверхность зубцов одного из звеньев; найти поверхность зубцов другого звена. 2. Задача анализа зубчатого механизма (обратная задача): задана схема механизма, известны поверхности зубцов обоих подвижных звеньев; найти закон движения в виде функции, связывающей перемещения обоих звеньев. Автор статьи, будучи студентом Иркутского политехнического, изучал курс ТММ, в котором рассматривались для плоских зацеплений графические методы нахождения сопряженных профилей зубцов S1 и S2, а также определения их линии зацепления S0. Основываясь на теореме «Если известна одна из линий S1, S2 или S0, то можно найти две остальные», мы решали три типа задач: 1) зная S1, находили S2 (или наоборот); 2) зная S1 (или S2), находили S0; 3) зная S0, находили S1 (или S2). Из этих трех задач в [3] рассмотрено две: задача 1, названная основной задачей синтеза, и задача 2, которую решают «попутно», рассматривая задачу 1. Задача 3 в [4] не названа, возможно, потому, что до середины 20 в. синтез зацеплений начинали всегда с задания S1 или S2, но не с выбора S0. Полагаю, что задачу 3 - нахождение сопряженных профилей или поверхностей зубцов S1 и S2 по заданной линии или поверхности зацепления S0 - следует отнести к основным задачам теории зацеплений и назвать задачей синтеза поверхностей зубцов по заданной поверхности зацепления. А задачу синтеза трехзвенного зубчатого механизма называть задачей синтеза (а лучше нахождения) поверхности зубцов на сопряженном звене. Назову две важные причины включения в теорию зацеплений трех основных задач, а не двух, как в [5]. Причина 1. Все три основные задачи существенно разнятся с математической точки зрения. Так, в задаче синтеза (по Литвину) надо решать алгебраическое уравнение зацепления N∙V12 = 0 и использовать формулы преобразования координат [6]. В задаче анализа (по Литвину) надо решать в пространственных зацеплениях систему 5 уравнений (в общем случае трансцендентных) [7]. В задаче синтеза, предлагаемой в качестве третьей основной задачи теории зацеплений, надо решать дифференциальное уравнение зацепления [8, разд. 6.8]. На первый взгляд это кажется странным: почему найти S0 через S1 просто, решив уравнение зацепления N∙V12 = 0, а для нахождения S1 через S0 надо решать численными методами дифференциальное уравнение второго порядка, которое в задачах оптимизационного синтеза редко имеет аналитическое решение? Причина достаточно проста: в первом случае (знаем S1) можно из уравнения зацепления найти и криволинейную координату на S1, и перемещение звена с S1. Во втором же случае (задав точку на S0) мы не знаем ни величину перемещения звена с S1, ни нормаль N к S1 в неподвижной системе координат X0Y0Z0. Заметим, что V12 в X0Y0Z0 найти можно, но этого недостаточно для получения уравнения зацепления в виде N∙V12 = 0. А нет уравнения - нет и решения. Отметим, что в общем случае N∙V12 = 0 по своей сущности есть дифференциальное уравнение первого порядка, так как в нем N зависит от ∂r/∂u и ∂r/∂v, а V12 - от ∂ö/∂t или ∂S/∂t, т. е. от первых производных. И если уравнение зацепления N∙V12 = 0 продифференцировать, то получим дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения S1 через S0. В это уравнение второго порядка вместо перемещения j или S войдут их производные или их дифференциалы. Решить такое уравнение можно аналитически или методом численного интегрирования, или же, заменив дифференциалы на конечные разности (∂j на Dj), находить сначала конечные разности, а затем через них вычислять координаты следующих точек на поверхностях зубцов, зная координаты предыдущих. Задача для пытливого аспиранта: попробуйте получить уравнение профиля зубца цилиндрического прямозубого колеса в передаче, где линией зацепления является отрезок прямой, находящийся в одном из четырех квадрантов, расположенных вокруг полюса зацепления. Можно найти решение в квадратурах? Причина 2. Перспективным направлением оптимизационного синтеза поверхностей зубцов является их поиск, основанный на анализе качественных показателей во всех возможных местах контакта зубцов [9, 10]. Места контакта и качественные показатели проще вычислять и нагляднее анализировать в неподвижной системе координат, связанной со стойкой (в пространстве зацепления по С. А. Лагутину [11]). При этом логичнее сначала синтезировать линию зацепления: провести ее по местам с наиболее благоприятными или с заданными значениями выбранного критерия нагрузочной способности. А поверхности контактирующих зубцов находить после синтеза линии (поверхности) зацепления, т. е. задача 3 - зная S0, найти S1 (или S2) - становится всё актуальнее. О методах оптимизации геометрии передач Виды применяемых методов: · проектирование по типовым или стандартным методикам с использованием (нередко) собственного или приобретенного программного обеспечения; · проектирование передач (прежде всего эвольвентных), используя блокирующие контуры: из справочников (например, [12]) и компьютерные динамичные [13]; · синтез передач сводят к классической задаче нелинейного программирования: найти значения параметров (вектор x), при которых целевая функция (нагрузочная способность) F(x)→max при наличии нелинейных ограничений; · при синтезе решают вариационную задачу поиска управляющей функции f(u) - профиля зубца r = r(u), при которой целевая функция F(f(u))→max [14, 15]; · передачи синтезируют, используя свои научные разработки [16-18; 19-23]. Мы используем два последних метода: вариационный подход, впервые примененный при поиске профилей зубцов А. Лебеком [24], и собственные наработки [25-27]. Проблемы оптимизационного синтеза и способы их преодоления Рассмотрим некоторые проблемы, возникающие при оптимизационном синтезе, основанном на анализе свойств пространства зацепления. О локальных критериях нагрузочной способности. При оптимизации всегда находят наибольший полезный эффект или наименьшие затраты на его получение. При синтезе передач полезным эффектом считают передаваемое усилие, например, окружную силу F. Но для локального оптимизационного синтеза это не всегда приемлемый критерий, так как, повышая F (увеличивая приведенный радиус кривизны в рассматриваемой точке контакта - это локальные показатели), можем существенно снизить коэффициент перекрытия e - это глобальный показатель. То есть для локального синтеза требуется такой показатель, который, будучи сугубо локальным, оценивает локальный полезный эффект и одновременно существенно влияет на глобальный показатель, в данном случае - на коэффициент перекрытия e. В качестве такого критерия автором предложена в [28] удельная работа поверхностей AF, равная отношению AF = полезный эффект / затраченный ресурс. (1а) В качестве эффекта при локальном синтезе берем элементарную допустимую работу dA, которую могут передать с одного звена на другое отработавшие при этом элементы пары. Ресурс - элементарная площадь dS отработавшего элемента высшей пары того звена, на котором элемент пары работает в более тяжелых условиях: Дж/м2. (1б) Работу dA и площадь dS находим через локальные геометрические и кинематические показатели условий касания двух тел. Находя dA, учитываем контактную прочность по Герцу и несущую способность масляной пленки по Ниману. Особенности методик локального оптимизационного синтеза, приведшие к введению критерия AF и вхождению в этот критерий площади dS и работы dA следующие. 1. При оптимизационном синтезе никто не учитывает факт, что во всех видах передач суммарная площадь S рабочих поверхностей всех зубцов любого из зубчатых колес мало зависит от модуля, от числа зубцов, а также от формы профиля и линии зубца. 1 Зависит она, прежде всего, от площади начальной (делительной) поверхности зубчатого звена. Так, полагая, что при высоте зубца ha = 2,25m длина рабочего участка профиля зубца L ≈ 0,75ha ≈ (1,5…1,8)m, получаем, что у цилиндрических колес и червяков рабочая площадь S1 одного зубца будет равна S1 ≈ Lb / cosb, где b - ширина зубчатого венца, b - угол наклона линии зубца. И суммарную площадь рабочих поверхностей всех зубцов, равную S = S1z, можно вычислять по формуле S = Lzb/cosb ≈ (1,5…1,8)mzb/cosb = (1,5…1,8)dwb. (2) И для всех видов зубчатых звеньев можно полагать, что ресурс S составляет примерно 75 % от площади их начальных или делительных поверхностей. Этот важный факт - зависимость ресурса S лишь от диаметра и ширины зубчатого венца - заставляет при локальном синтезе бережно использовать именно площадь dS рабочих поверхностей зубцов. Поэтому в качестве используемого ресурса при локальном оптимизационном синтезе взята dS. Нагрузочную способность высших пар и передач обычно характеризуют силовыми или энергетическими показателями: предаваемой силой, крутящим моментом, мощностью. Нам же нужен показатель эффективности использования единицы рабочей поверхности зубцов. Дифференциальный кусок поверхности зубца площадью dS передает силу F в течение времени dt, перемещаясь на расстояние ds при повороте звена на dj. И чем больше F, ds и dj, тем эффективнее работает площадка dS. Но скалярное произведение F·ds есть элементарная работа dA (так же, как и dA = T·dj). Поэтому в качестве полезного эффекта при локальном оптимизационном синтезе взята dA. Показатель AF, характеризуя несущую способность единицы площади поверхности зубца, одновременно свидетельствует и о величине загруженности поверхности в рассматриваемой точке. Зная AF и КПД в точке касания зубцов, можно вычислять удельное выделение тепла в месте контакта. Резюме: при оптимизационном синтезе линий и поверхностей зацепления надо стремиться к максимальным значениям AF, но учитывать, что чрезмерно большие AF вызовут перегруженность и перегрев поверхности зубца в данной точке. О синтезе поверхности зацепления и поверхностей зубцов. Синтез, основанный на анализе свойств пространства зацепления, предполагает, что сначала синтезируют поверхность или линию зацепления, а потом находят поверхности зубцов. Назовем некоторые проблемы, возникающие при таком синтезе. 1. Приведенный радиус кривизны RS и коэффициент перекрытия e. Есть правило: увеличивая локальный показатель RS в некоторой точке пространства зацепления, уменьшаем глобальный показатель ε. Достичь компромисса между RS и ε поможет показатель «удельная работа поверхностей AF». 2. Проблема двойственности: одно и то же значение RS в рассматриваемой точке пространства плоского зацепления можно получить при двух наборах радиусов кривизны профилей зубцов [29] и [30, табл. 5.1]. Это создает проблемы при интегрировании дифференциального уравнения, особенно при наличии уравнений-ограничений. Способ решения проблемы видим в использовании специальных алгоритмов синтеза, учитывающих специфику передач. 3. Проблема вырождения: при использовании целевых функций, в которые входит AF, компьютер часто выходит на нереальные параметры касания поверхностей - в область, где не работает формула Герца для вычисления контактных напряжений (размеры мгновенной площадки контакта велики по сравнению с радиусами кривизны зубцов). Выход видим в задании пользователем размеров площадок при синтезе линии и поверхности зацепления. Заключение 1. Разработаны основы метода синтеза передач, начинающегося с нахождения линии или поверхности зацепления, которые проводят по местам с наиболее благоприятными значениями критерия нагрузочной способности. 2. Предложено причислить к основным задачам теории зацеплений задачу синтеза поверхностей зубцов по заданной поверхности зацепления. 3. Создан качественный показатель «удельная работа поверхностей», который, являясь сугубо локальным, не только оценивает нагрузочную способность в рассматриваемой точке контакта, но и влияет на глобальный показатель - коэффициент перекрытия. Этот показатель может снять часть вычислительных проблем, возникающих при оптимизационном синтезе передач.

Galleys

PDF (Русский)
References References

Литвин Ф. Л. Теория зубчатых зацеплений. - М. : Наука. - 1968. - 584 с.

Там же.

Там же.

Там же.

Там же.

Там же.

Там же.

Шишов В. П., Носко П. Л., Филь П. В. Теоретические основы синтеза передач зацеплением. - Луганск : СНУ им. Даля, 2006. - 408 с.

Babichev D., Storchak M. Synthesis of cylindrical gears with optimum rolling fatigue strength // Production Engineering. Research and Development. - 2015. - Vol. 9, no. 1. - P. 87-97. - ISSN 0944-6524.

Лагутин С. А. Пространство зацепления и его элементы // Машиноведение. - 1987. - № 4. - С. 69-73.

Там же.

Справочник по геометрическому расчету эвольвентных зубчатых и червячных передач / И. А. Болотовский, В. И. Безруков, О. Ф. Васильев [и др.]. - М. : Машиностроение,1986. - 448 с.

Гольдфарб В. И., Tкачёв А. А. Проектирование эвольвентных цилиндрических передач. Новый подход. - Ижевск : Изд-во ИжГТУ, 2004. - 94 с.

Babichev D., Storchak M. Указ. соч.

Лагутин С. А. Указ. соч.

Шишов В. П., Носко П. Л., Филь П. В. Указ. соч.

Babichev D., Storchak M. Указ. соч.

Лагутин С. А. Указ. соч.

Гольдфарб В. И., Tкачёв А. А. Указ. соч.

Lebeck Alan O., Radzimovsky E. J. The Synthesis of profile shapes and spur gears of high to-ad Capacity // Trans. ASME, 1970, B92, no. 3, p. 543-553.

Goldfarb V., Malina O., Trubachev E. New Concept of the Process of Designing Gearboxes and Gear Systems // Mechanisms and Machine Science. - 2016. - No. 4. Theory and Practice of Gearing and Transmissions. - Pp. 405-423.

Бабичев Д. Т. Развитие теории зацеплений и формообразования поверхностей на основе новых геометро-кинематических представлений : дис. … д-ра техн. наук. - Тюмень, 2005. - 421 с.

Бабичев Д. Т., Сторчак М. Г., Бабичев Д. А. Основы концепции синтеза рабочих поверхностей зубьев цилиндрических передач, обладающих заданной контактной прочностью // Современное машиностроение. Наука и образование. - 2012. - С. 150-160. - SSN 2223-0807.

Lebeck Alan O., Radzimovsky E. J. Указ. соч.

Babichev D., Storchak M. Указ. соч.

Бабичев Д. Т. Указ. соч.

Бабичев Д. Т., Сторчак М. Г., Бабичев Д. А. Указ. соч.

Бабичев Д. Т. Указ. соч.

Babichev D., Storchak M. Указ. соч.

Шишов В. П., Носко П. Л., Филь П. В. Указ. соч.




DOI: http://dx.doi.org/10.22213/2413-1172-2017-2-71-74

Article Metrics

Metrics Loading ...

Metrics powered by PLOS ALM


Copyright (c) 2017 Bulletin of Kalashnikov ISTU

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.


ISSN 1813-7903 (Print)
ISSN 2413-1172 (Online)