Mathematical Modeling of the Accuracy of Gear Cutting at the Gear-Shaping Machines

Khusainov R.M., Khaziev R.R., Yurasov S.Y.

Abstract


This paper examines the impact of the geometric and kinematic errors of gear shaping machines for accuracy of processed wheels. The equation of the machined surface is proposed based on coordinate transformation matrices and equations of involute surface of the tool in the form of a matrix equation. Impact of errors of the technological system elements is displayed by a matrix of variations, components of which are the projection of errors on the axis. The errors of machine units are determined by testing for geometric, kinematic accuracy, as well as for stiffness and thermal deformation. By combining the variation matrices of each unit and the matrix equation of the surface being processed, the equation of the output error of the machine in the form of a column matrix is displayed. The components of this matrix are brought to the machined surface through a projection on the line of machining action. As a result, the equation of deviations of the real shape of the gear from the nominal shape is displayed. The components of this equation are brought to the tangential and to the radial components. Next, the obtained values are translated into a standardized deviation of the gear accuracy. This makes it possible to predict the possibility of obtaining products specified accuracy on this machine, as well as to control the specific parameters of the technological system to ensure the accuracy and stability of the process.

Keywords


gear accuracy; gear shaping machine; geometric accuracy; kinematic error; radial runout; shaping function

Full Text

Как известно из классической теории точности, реальное зубчатое колесо можно рассматривать как изделие, отражающее неточности средств его изготовления, которые будут проявляться при эксплуатации, изменяясь в функции перемещения звена [1]. Считается, что основное влияние на точность нарезаемых колес оказывают кинематические погрешности станка и погрешности инструмента [2]. С другой стороны, ошибки зубчатых колес характеризуются комплексом показателей, устанавливаемых стандартами [3]. Потребитель задает свои требования в форме показателей стандартов. Производитель же имеет дело с производственными погрешностями технологической системы, и ему бывает затруднительно связать эти погрешности с допусками на чертеже [4]. Предлагаемый метод оценки показателей точности нарезаемых колес основан на функциональном подходе к образованию погрешностей зубчатого колеса, а также на применении математического аппарата преобразования координат [5]. Формообразование в этом случае можно представить как преобразование движений инструмента через соответствующие координатные матрицы элементов технологической системы. Система координат в приложении к зубодолбежному станку представлена на рис. 1. Рис. 1. Система координат при обработке на зубодолбежном станке Для формирования поверхности зуба нарезаемого колеса на данном станке необходимы следующие движения: Z - возвратно-поступательное движение долбяка в вертикальном направлении; C - вращение заготовки; D - вращение долбяка. Два последних движения связаны зависимостью где zt - число зубьев долбяка; zw - число зубьев заготовки. Поскольку на точность нарезаемых зубьев влияет только чистовой проход зубодолбления, движение радиальной подачи здесь не учитываем и полагаем межосевое расстояние между инструментом и заготовкой постоянным. Преобразование движений описывается следующим уравнением: где r0 - вектор координат номинальной поверхности заготовки; AD - матрица преобразования от вращения инструмента вокруг своей оси; AX - матрица преобразования по координате X (расстояние между осью инструмента и заготовкой); AZ - матрица преобразования по координате Z (вертикальное движение долбяка); АС - матрица преобразования от вращения заготовки вокруг своей оси; rcs - вектор координат поверхности режущего инструмента. Рассчитав произведение вышеперечисленных матриц, получаем матричное уравнение номинальной поверхности: где rb -радиус основной окружности зубчатого колеса. Анализируя данное уравнение, можно прийти к выводу, что оно представляет собой классическое уравнение эвольвенты в матричной форме, сдвинутой на величину межосевого расстояния Х и преобразованной на величину передаточного отношения условного станочного зацепления между долбяком-инструментом и нарезаемым зубчатым колесом. Тем самым оно отображает процесс формирования поверхности нарезаемого зубчатого колеса на зубодолбежном станке. В процессе обработки каждый элемент технологической системы генерирует свою погрешность. Моделирование результирующей погрешности на выходе станка производится путем добавления в уравнение идеальной поверхности матриц, описывающих погрешности каждого элемента станка: (1) где dAC - матрица погрешности привода вращения заготовки; dAX - матрица погрешности настройки межосевого расстояния; dAZ - матрица погрешности траектории движения по оси Z; dAD - матрица погрешности привода вращения долбяка. Каждая матрица dАi представляет собой матрицу вариации движения и имеет следующий вид: Компоненты данной матрицы представляют собой проекции погрешностей данного узла станка на соответствующие оси координат. Согласно классической теории точности образование погрешности на изделии следует рассматривать по линии действия механизма в его работе [6]. В данном случае линией действия является линия станочного зацепления (рис. 2). Составляющие уравнения погрешности (1) приводятся к линии зацепления. Рис. 2. Линия станочного зацепления при зубодолблении Проецирование на линию станочного зацепления выполняется умножением матрицы-столбца погрешности (1) на матрицу-столбец нормали n к эвольвентной поверхности: Полученное выражение из-за большого объема и сложности здесь не приводится. Это выражение характеризует неточности положения долбяка относительно боковых поверхностей зубьев и может быть пересчитано в показатели точности нарезаемого колеса. На рис. 3 показана развертка графика погрешности при изменении C от 0 до 2p и z от 0 до высоты зуба. Как видно по графику, функция погрешности имеет четко выраженную основную гармонику, имеющую период в один оборот заготовки и циклические гармоники. Также график имеет уклон по высоте зуба, что характеризует влияние перекосов траектории главного движения долбяка. Рис. 3. Развертка графика погрешности Для определения отдельных показателей точности зубчатого венца суммарную погрешность по линии зацепления раскладываем на радиальную и тангенциальную составляющие Радиальная составляющая представляется как проекция на ось X суммарной погрешности по линии зацепления: Тангенциальная составляющая рассматривается как проекция суммарной погрешности по линии зацепления на ось Y и записывается в следующем виде: Комплекс показателей кинематической точности определяется основной гармоникой ошибок. Следовательно, для сопоставления погрешностей технологической системы стандартным показателям кинематической точности необходимо исследовать основные гармоники функций и то есть изменение этих составляющих за один оборот заготовки. Разность наибольшего и наименьшего значения радиальной составляющей за 1 оборот колеса дает величину радиального биения зубчатого венца изготовленной детали (2) Величина соответствующей погрешности, рассчитанная по формуле (2) для заготовки с числом зубьев 51 и модулем 2, составляет 0,044 мм, что типично для заготовок такого размера, обрабатываемых на станках нормальной точности. Аналогично, значение наибольшей кинематической погрешности определяется как разность максимального и минимального значений тангенциальной составляющей на промежутке от 0 до 2p: (3) Величина соответствующей погрешности, рассчитанная по формуле (3), составляет 0,122 мм, что также соответствует параметрам, получаемым на станках такого типа. Предлагаемый подход позволяет установить взаимосвязь между комплексом показателей точности зубчатого колеса и производственными погрешностями. На основании выявленной взаимосвязи на стадии подготовки производства появляется возможность прогнозировать точность изготовляемых зубчатых колес. Таким образом, можно оценить возможности действующего производства по реализации возможного заказа или подобрать необходимые средства технологического оснащения для создания нового производства.

Galleys

PDF (Русский)
References References

Калашников Н. А. Точность в машиностроении и ее законы. - М. : Машгиз, 1950. - 250 с.

Тайц Б. А. Точность и контроль зубчатых колес. - М. : Машиностроение, 1972. - 368 с.

ГОСТ 1643-81. Передачи зубчатые цилиндрические. Допуски. - М., 2003. - 46 с.

Ахатов Р. Х., Говорков А. С., Жиляев А. С. Разработка и внедрение программного комплекса «Система анализа технологичности конструкции изделий» при запуске в производство изделий // Известия Самарского научного центра РАН. - 2014. - Т. 16, № 1(5). - С. 1279-1283.

Решетов Д. Н., Портман В. Т. Точность металлорежущих станков. - М. : Машиностроение, 1986. - 336 с.

Калашников Н. А. Указ. соч.




DOI: http://dx.doi.org/10.22213/2413-1172-2017-2-85-87

Article Metrics

Metrics Loading ...

Metrics powered by PLOS ALM


Copyright (c) 2017 Bulletin of Kalashnikov ISTU

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.


ISSN 1813-7903 (Print)
ISSN 2413-1172 (Online)