Двухполюсные элементы с фрактальным импедансом и их применение в радиотехнике и связи
DOI:
https://doi.org/10.22213/2413-1172-2020-1-75-105Ключевые слова:
дробное исчисление, RC-элементы с распределенными параметрами, элементы с дробным импедансом, устройства дробного дифференцирования и интегрирования, ПИД-регуляторы дробного порядка, генераторы дробного порядка, фильтры дробного порядкаАннотация
Теория фракталов совместно с теорией дробных операторов интегродифференцирования и фрактальная трактовка самых разнообразных задач, возникающих в различных областях науки и техники, не обошли стороной и современную радиотехнику. Появившиеся термины «фрактальная радиофизика», «фрактальная радиолокация», «фрактальная радиоэлектроника» отражают принципиально иной подход к представлению составляющих электрических сигналов и электромагнитного поля.
В данном обзоре в ознакомительных целях даны понятия об основных операторах дробного исчисления – производной и интеграла дробного порядка, которые незаменимы для описания и исследования фрактальных систем и процессов.
Во многих практических задачах, когда их математическая формулировка вызывает затруднение или не требуется их аналитическое решение, а необходимо знать лишь реакцию динамической системы на некоторое входное воздействие, широко используется аналоговое схемотехническое моделирование. Однако в случае систем дробного порядка его реализация требует наличия специфических двухполюсных пассивных элементов, в которых связь между током и напряжением описывается дифференциальным уравнением дробного порядка. Показано, что в таких элементах импеданс зависит от частоты не в целой степени, как у обычных емкостных или индуктивных элементов, а в дробной степени a (0 < a < 1). Поэтому такие элементы в работе мы назвали элементами с фрактальным импедансом (ЭФИ).
Поскольку информация об ЭФИ, их характеристиках, вариантах конструкций и принципах реализации фрактального импеданса, использовании ЭФИ для совершенствования функциональных устройств радиотехники и связи практически не известна отечественным исследователям, инженерам, начинающим ученым, то одной из задач данной работы является устранение этого информационного вакуума.
Приведена классификация ЭФИ и представлены некоторые существующие конструктивно-технологические варианты ЭФИ и их характеристики. Проведенный сравнительный анализ характеристик различных ЭФИ показал, что большинство из них в настоящее время не пригодны для изготовления в промышленных масштабах, чтобы удовлетворить потребности ученых и инженеров. Однако в качестве перспективы можно выделить ЭФИ, построенные на основе многослойной резистивно-емкостной среды с контролируемыми геометрическими и электрофизическими параметрами среды. Эти элементы конструктивно выполняются в виде интегральных конструкций, изготовленных с помощью стандартных технологий, используемых для создания пленочных или полупроводниковых микросхем. Для их анализа и синтеза разработаны математические модели, алгоритмы и программы, позволяющие проектировать конструкции ЭФИ с заданными показателями a в заданном, хотя и ограниченном диапазоне частот. В работе показаны образцы ЭФИ, изготовленные промышленным способом, и сравнение реализованных на практике характеристик с синтезированными на стадии проектирования.
Наличие физических образцов ЭФИ позволяет оценивать потенциальные достоинства их применения, возможные ограничения, методики проектирования с учетом тех особенностей, которые отличают ЭФИ от традиционных пассивных элементов, используемых в схемотехнике и аналоговом моделировании.
Рассмотрены принципы построения интеграторов и дифференциаторов дробного порядка, результаты интегрирования и дифференцирования сигналов с помощью устройств, использующих ЭФИ на основе резистивно-емкостной среды (ЭФИ на основе одномерных однородных резистивно-емкостных элементов со структурой слоев R-C-NR (сокращенно ОО R-C-NR ЭРП)). На конкретном примере показана возможность создания аналогового процессора, использующего аналоговые интеграторы и дифференциаторы дробного порядка для решения дифференциальных уравнений дробного порядка.
Приведен пример реализации ПИД-регулятора дробного порядка для построения системы автоматического управления антенно-поворотным устройством. Результаты работы спроектированного устройства были проверены с помощью схемотехнического моделирования, при котором в качестве ЭФИ были использованы их математические модели в виде ОО R-C-NR ЭРП. Было показано, что регулятор дробного порядка позволяет создать систему управления с лучшими характеристиками регулирования по сравнению с классической системой управления.
Показано, что применение ЭФИ при создании генераторов хаоса, являющихся основой систем, характеризующихся детерминированным хаосом, позволяет изменять характер хаотических сигналов и формы аттракторов без изменения начальных условий или переключения систем формирования хаоса.
В работе также рассмотрены принципы построения частотно-избирательных фильтров дробного порядка, особенности частотных характеристик различных видов фильтров и показаны возможности управления параметрами и характеристиками фильтра за счет использования дополнительной степени свободы в виде показателя a, являющегося параметром ЭФИ.
Поскольку частотно-избирательные фильтры являются неотъемлемой частью автогенераторов электрических колебаний, то применение в них фильтров дробного порядка также вносит заметные отличия в параметры автогенераторов дробного порядка по сравнению с параметрами их классических прототипов. Основное отличие – частоты генерации на несколько порядков превышают частоты генерации прототипов при одинаковых постоянных времени фазирующих цепей. Кроме того, наличие дополнительных степеней свободы позволяет независимо управлять частотой и фазой сигнала на выходе генератора, строить многофазные генераторы.Библиографические ссылки
Потапов А. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации : Топология выборки. М. : Университетская книга, 2005. 848 с.
Потапов А. А., Гильмутдинов А. Х., Ушаков П. А. Фрактальные радиоэлементы и радиосистемы : Физический аспект : монография / под ред. А. А. Потапова. М. : Радиотехника, 2009. 200 с.
Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск : Артишок, 2008. 512 с.
Tenreiro Machado J., Kiryakova V., Mainardi F. Recent history of fractional calculus. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulations, 2011, no. 3, pp. 1140-1153. DOI: 10.1016/j.cnsns.2010.05.027.
Hilfer R. Applications of Fractional Calculus in Physics. Singapore, World Scientific Publ. Company, 2000. ISBN: 978-981-02-3457-7.
Magin R. Fractional Calculus in Bioengineering. Redding, Begell House Publ., 2006. ISBN: 978-1567002157.
Mainardi F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. London, Imperial College Press, 2010. ISBN: 978-1-84816-329-4.
Monje C., Chen Y., Vinagre B., Xue D., Feliu V. Fractional Order Systems and Controls: Fundamentals and Applications. London, Springer, 2010. ISBN: 978-1849963343.
Zaslavsky G. Hamiltonian Chaos and Fractional Dynamics. New York, Oxford University Press, 2005. ISBN: 978-0198526049.
Podlubny I. Fractional Differential Equations: An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of Their Applications, Mathematics in Science and Engineering, vol. 198, New York, London, Sydney, Tokyo and Toronto, Academic Press, 1999.
Caponetto R., Dongola G., Fortuna L., Petráš I. Fractional Order Systems: Modeling and Control Applications, World Scientific Publ. Co. Pt. Ltd., 2010, 195 p.
Podlubny I. Fractional Differential Equations. San Diego, Academic Press, 1999.
Тетельбаум И. М., Шнейдер Ю. Р. Практика аналогового моделирования динамических систем : справочное пособие. М. : Энергоатомиздат, 1987. 383 с.
Кампе-Немм А. А. Решение инженерных задач на электронных моделирующих машинах. М. : Энергия, 1970. 96 с.
Dingyu Xue, Yang Quan Chen. Dingyu Solving applied mathematical problems with MATLAB, Chapman & Hall/CRC, Taylor & Francis Group, 2009. 433 p.
Нигматуллин Р. Ш. Общее уравнение и электрический аналог электролитической ячейки со сферическим стационарным микроэлектродом // Докл. АН СССР. 1963. N. 151, № 6. С. 1383–1388.
Карамов Ф. А. Суперионные проводники. Гетероструктуры и элементы функциональной электроники на их основе. М. : Наука, 2002. 303 с.
Biswas K., Sen S., Dutta P. K. Realization of a constant phase element and its performance study in a differentiator circuit. IEEE Trans. Circuits Syst. II, 2006, vol. 53, pp. 802-806.
Riccardo Caponetto, Salvatore Graziani, Fulvio L. Pappalardo, Francesca Sapuppo. Experimental Characterization of Ionic Polymer Metal Composite as a Novel Fractional Order Element, Corporation Advances in Mathematical Physics, Hindawi Publ., 2013, Article ID 953695, 10 p.
Agambayev A., Patole S.P., Farhat M., Elwakil A., Bagci H., Salama K.N. Ferroelectric Fractional-Order Capacitors. Chem. Electro Chem, 2017, vol. 4, pp. 2807-2813.
Haba T., Loum G., Zoueu J., Ablart G. Use of a component with fractional impedance in the realization of an analogical regulator of order ½. J. Appl. Sciences, 2008, vol. 8, no. 1, pp. 59-67.
Biswas K. Fractional-Order Devices. Springer, 2017, 111 p. DOI: 10.1007/978-3-319-54460-1.
Gil’mutdinov A.Kh., Ushakov P.A., El-Khazali R. Fractal Elements and their Application. Springer, 2017, 252 p. DOI: 10.1007/978-3-319-45249-4.
Кайзер Г., Кастро Р., Николс А. Схемы с распределенными параметрами на тонких пленках // Зарубежная радиоэлектроника. 1967. Т. 9, № 4. С. 112–123.
Колесов Л. Н. Введение в инженерную микроэлектронику. М. : Советское радио, 1974. 280 с.
Гильмутдинов А. Х., Ушаков П. А. Неоднородные резистивно-емкостные элементы с распределенными параметрами. Классы и анализ // Методы моделирования : тр. Казанского науч. семинара / под ред. В. А. Райхлина. Вып. 3. С. 233–252. Казань : Изд-во КГТУ, 2007.
Гильмутдинов А. Х. Резистивно-емкостные элементы с распределенными параметрами : Анализ, синтез и применение. Казань : Изд-во КГТУ, 2005. 350 с.
Гильмутдинов А. Х., Потапов А. А., Ушаков П. А. Математические и алгоритмические основы синтеза фрактальных элементов на основе ОСН RC-ЭРП // Фракталы и дробные операторы / предисл. акад. Ю. В. Гуляева, чл.-кор. РАН С. А. Никитова ; под общ. ред. А. Х. Гильмутдинова. Казань : Изд-во Академии наук РТ, 2010. 488 с. ISBN 978-59690-0123-4.
Ушаков П. А., Максимов К. О. Разработка генетического алгоритма для синтеза конструкций фрактальных элементов на основе резистивно-емкостной среды со структурой слоев вида R-C-NR // Вестник ИжГТУ. 2012. № 3 (55). С. 104–108.
Happ W.W., Castro P.S., Fuller W.D. Synthesis of Solid-state distributed parameters functions. IRE Int. Conv. Rec., 1962, vol. 10, pt. 6, pp. 262-278.
Максимов К. О. Решение задачи обеспечения заданных параметров фрактальных радиоэлементов на основе резистивно-емкостной среды : автореф. дис. канд. техн. наук, Ижевск, 2013. 28 с.
Adhikary A., Sen S., Biswas K. Practical Realization of Tunable Fractional Order Parallel Resonator and Fractional Order Filters. IEEE Trans. on Circuit and Systems, August 2016, vol. 63, no. 8, pp. 1142-1151.
Гильмутдинов А. Х., Ушаков П. А. Физическая реализация элементов с фрактальным импедансом: Состояние и перспективы // Радиотехника и электроника. 2017. Т. 52, № 5. С. 1–14.
Krishna B.T. Studies on fractional order differentiators and integrators: A survey. Signal Processing, 2011, vol. 91, pp. 386-426. DOI: 10.1016/j.sigpro.2010.06.022.
Ушаков П. А., Шадрин А. В. Схемотехническое моделирование аналогового процессора для решения дифференциальных уравнений дробного порядка // Интеллектуальные системы в производстве. 2013. № 1. С. 56–58.
Podlubny I., Petras B., Vinagre P., Leary O., Dorcak L. Analogue realizations of fractional order controllers. Nonlinear Dynam., 2002, vol. 29, pp. 281-296.
Monje A. Fractional-order Systems and Controls: Fundamentals and Applications. Springer, 2010, 414 р. DOI: 10.1007/978-1-84996-335-0.
Tepljakov A. ractional-order modeling and con-trol of dynamic systems. Springer, 2017, 184 p. DOI: 10.1007/978-3-319-52950-9.
Ушаков П. А., Бабошкин Г. Д. Моделирование системы управления дробного порядка с высокоинерционным объектом управления на примере системы стабилизации антенно-поворотного устройства // Вестник концерна ВКО «Алмаз-Антей». 2019. № 3. С. 41–51.
Tarasov V.E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. Beijing, Higher Education Press, 2010, 522 p.
Petráš I. Fractional-Order Nonlinear Systems: Modeling, Analysis and Simulation. Beijing, Higher Education Press, 2010, 235 р.
Mekkaoui T., Hammouch Z., B.M. Belgacem F.B.M., Abbassi A.E. Fractional-order Nonlinear Systems: Chaotic Dynamics, Numerical Simulation and Circuits Design. Degruyter Publ., 2016, pp. 343-356. DOI: 10.13140/RG.2.1.3974.4082.
Агуреев К. И. Применение детерминированного хаоса для передачи информации // Изв. Тульского гос. ун-та. 2014. Вып. 4. С. 1281–1310.
Леонов К. Н., Потапов А. А., Ушаков П. А. Использование инвариантных свойств хаотических сигналов в синтезе систем передачи информации // Радиотехника и электроника. 2014. Т. 59, № 12. С. 1209–1229.
Леонов К. Н., Потапов А. А., Ушаков П. А. Математическое моделирование системы передачи данных на основе хаотических сигналов с фрактальной размерностью // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2010. Т. 13, № 3. С. 47–53.
Ушаков П. А., Леонов К. Н. Инвариантный способ передачи информации в системах с хаотическими сигналами // Вестник Ижевского государственного технического университета. 2010. № 4. С. 92–96.
Спротт Д. К. Элегантный хаос: алгебраические простые хаотические потоки. М. ; Ижевск : Ижевский ин-т компьютерных исследований, 2012. 328 с.
Белослудцев В. Н., Ушаков П. А. Исследование генератора хаоса дробного порядка, построенного на системе Нозе – Гувера // Приборостроение в XXI веке – 2017 : Интеграция науки, образования и производства : материалы XIII Междунар. науч.-техн. конф. (Ижевск, 22–24 ноября 2017 г.). Ижевск : Изд-во ИжГТУ имени М. Т. Калашникова, 2018. С. 17–23.
Elwakil A.S. Fractional-order circuits and systems: an emerging interdisciplinary research area. IEEE Circuits and Systems Magazine, 2010, vol. 10, no. 4, pp. 40-50.
Tsirimokou G., Psychalinos C., Elwakil A. Design of CMOS Analog Integrated Fractional-Order Circuits, Applications in Medicine and Biology. Springer, 2017, 114 р.
Radwan A.G., Elwakil A.S., Soliman A.M. On the generalization of second-order filters to the fractional-order domain. J. Circuits Syst. Comput, 2009, vol. 18, pp. 361-386.
Lahiri A., Rawat T. Noise analysis of single stage fractional-order low-pass filter using stochastic and fractional calculus. ECTI Trans. Elect Eng., Electron. Com-mun., 2009, vol. 7, pp. 136-143.
Maundy B., Elwakil A.S., Freeborn T.J. On the practical realization of higher-order filters with fractional stepping. Signal Processing, 2011, vol. 91, pp. 484-491.
Tripathy M.C., Mondal D., Biswas K., Sen S. Design and performance study of phase-locked loop using fractional-order loop filter. International J. of Circuit Theory and Applications, 2015, vol. 43, is. 6, pp. 776-792.
Freeborn T., Maundy B., Elwakil A.S. Approximated Fractional Order Chebyshev Lowpass Filters. Mathematical Problems in Engineering, 2015, vol. 2015, pp. 1-7. DOI: 10.1155/2015/S3246S.
Tripathy M.C., Biswas K., Sen S. A design example of a fractional-order Kerwin-Huelsman-Newcomb biquad filter with two fractional capacitors of different order. Circuits, Systems, and Signal Proc., 2013, vol. 32, no. 4, pp. 1523-1536.
Soltan A., Radwan A.G., Soliman A.M. Measurement Fractional Order Sallen-Key Filters. Interna-tional J. of Electrical, Electronics, Communication, Energy Science and Engineering, 2013, vol. 7, no.12, pp. 1088-1092.
Adhikary A., Sen S., Biswas K. Practical Realization of Tunable Fractional Order Parallel Resonator and Fractional Order Filters. Regular Papers, August 2016, vol. 63, no 8, pp. 1142-1151.
Князев А. В., Ушаков П. А. Сравнительный анализ характеристик фрактального параллельного колебательного контура // Молодые ученые – ускорению научно-технического прогресса в XXI веке : сб. тр. II Всерос. науч.-техн. конф. аспирантов, магистрантов и молодых ученых с междунар. участием. Ижевск : Изд-во ИжГТУ имени М. Т. Калашникова, 2013. С. 337–341.
Radwan A.G., Elwakil A.S., Soliman A.M. Fractional-order sinusoidal oscillators: design procedure and practical examples. IEEE Trans, on Circuits and Systems I: Regular Papers, 2008, vol. 55, pp. 2051-2063.
Elwakil A.S., Agambayev A., Allagui A., Sala-ma K.N. Experimental demonstration of fractional-order oscillators of orders 2.6 and 2.7. Chaos, Solitons & Fractals, 2017, vol. 96, pp. 160-164.
Agambayev A. Fractional-Order Hartley Oscilla-tor. Proc. 14th Conference on Ph.D. Research in Microelectronics and Electronics (2-5 July 2018). DOI: 10.1109/PRIME.2018.8430336.
Fouda M.E., Soltan A., Radwan A.G., Soli-man A.M. Fractional-order multiphase oscillators design and analysis suitable for higher-order PSK applications. Analog Integrated Circuits and Signal Proc., 2016, vol. 87, pp. 301-312.
Maundy B., Elwakil A., Gift S. On the realization of multiphase oscillators using fractional-order allpass filters. Circuits, Systems and Signal Processing, 2012, vol. 31, pp. 3-17.
Lahiri A. Low-frequency quadrature sinusoidal oscillators using current differencing buffered amplifiers. Indian Journal of Pure & Applied Physics, 2011, vol. 49, no. 6, pp. 423-428.
Pittala C.S., Srinivasulu A. Quadrature oscillator using operational transresistance amplifier. Applied Electronics, 2014, pp. 117-120.
Lobna S.A., Madian A.H., Radwan A.G., Soliman A.M. Fractional order oscillator with independent control of phase and frequency. Proc. 2nd International Conf. on Electronic Design (ICED) 19-21 Aug. 2014. DOI: 10.1109/ICED.2014.7015803.
Maundy B., Elwakil A., Gift S. On a multivibrator that employs a fractional capacitor. Analog Integr Circ Sig Proc., 2009, 62. DOI: 10.1007/s 10470-009-9329-3.
Sacu I.E., Alcy M. Electronically Controllable Fractional Multivibrator. IETE Journal of Research, 06 Dec 2018. DOI: 10.1080/03772063.2018.1548909.