Анализ характеристики параметров хаотической системы Чуа дробного порядка

Илья Васильевич Князев; Петр Архипович Ушаков

doi:10.22213/2413-1172-2023-3-96-106

Авторы

И. В. Князев ИжГТУ имени М. Т. Калашникова
П. А. Ушаков ИжГТУ имени М. Т. Калашникова

DOI:

https://doi.org/10.22213/2413-1172-2023-3-96-106

Ключевые слова:

элемент с фрактальным импедансом, дробный порядок, хаос, matlab, показатели Ляпунова, цепь Чуа

Аннотация

Рассмотрена задача анализа параметров хаотической системы дробного порядка. В качестве примера выбрана хаотическая система на основе цепи Чуа целого порядка. Для получения цепи Чуа дробного порядка предложено заменить емкостные элементы в исходной цепи на элементы с фрактальным импедансом. Целью работы является создание математической модели цепи Чуа дробного порядка с реальными значениями элементов цепи, на основе которой оценить существующие программные продукты в среде Matlab, подходящие для моделирования хаотических систем дробного порядка, а также поиск программных продуктов, подходящих для вычисления спектра показателей Ляпунова. Анализ готовых программных продуктов в среде Matlab из известной литературы показал, что для решения системы дифференциальных уравнений дробного порядка наиболее подходящим вариантом является программа fde_pi12_pc. Выбранная программа позволяет задавать все интересующие параметры системы и обладает относительно высокой точностью благодаря использованию алгоритма предиктор - корректор. На основе этой программы построена область определения дробных показателей системы Чуа, в которой визуально наблюдается наличие характерного аттрактора. Проанализированы существующие программные продукты в среде Matlab, позволяющие вычислять показатели Ляпунова для хаотических систем описанными дифференциальными уравнениями дробного порядка. Из рассмотренных решений лучшей на наш взгляд является программа FO_NC_Lyapunov. С помощью выбранной программы построен пространственный график спектра показателей Ляпунова при изменении дробных показателей системы Чуа. На основе пространственного графика спектра показателей Ляпунова и критериев хаотичности системы по значениям показателей Ляпунова была построена область определения с визуализацией зон хаотического поведения системы Чуа. Области определения, полученные с помощью визуального анализа наличия аттрактора и вычисления спектра показателей Ляпунова для одной и той же математической модели, не совпали, следовательно, в настоящее время отсутствуют программные продукты для достоверной оценки хаотичности систем дробного порядка путем вычисления спектра показателей Ляпунова.

Биографии авторов

И. В. Князев, ИжГТУ имени М. Т. Калашникова

аспирант

П. А. Ушаков, ИжГТУ имени М. Т. Калашникова

доктор технических наук, профессор

Библиографические ссылки

Shashikhin V.N., Budnik S.V., Golovina K.O. (2021) Control of the spectrum of Lyapunov characteristic exponents in nonlinear large-scale systems.Computing, Telecommunications and Control, 2021, vol. 14, no. 4, pp. 37-51. DOI: 10.18721/JCSTCS.14404

Добриян В. В. Нейросетевой метод вычисления спектра показателей Ляпунова в анализе нелинейной динамики классических систем // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. 2023. Т. 25. № 2. С. 30-40. DOI: 10.18127/j19998554-202302-03

Wolf A. Lyapunov exponent estimation from a time series [Электронный ресурс]. MathWorks. The MathWorks, Inc. Швейцария. URL: https://ch.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/48084-wolf-lyapunov-exponent-estimation-from-a-time-series (дата обращения: 11.03.2023).

Mirwais. Largest Lyapunov Exponent with Rosenstein's Algorithm [Электронный ресурс]. MathWorks. The MathWorks, Inc. Швейцария. URL: https://ch.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/38424-largest-lyapunov-exponent-with-rosenstein-s-algorithm (дата обращения: 13.03.2023).

Marius D. FO_Lyapunov_p [Электронный ресурс]. MathWorks. The MathWorks, Inc. Швейцария. URL: https://ch.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/114610-fo_lyapunov_p (дата обращения: 11.03.2023).

Marius D. (2021) Matlab code for Lyapunov exponents of fractional-order systems, Part II: The non-commensurate case.International Journal of Bifurcation and Chaos, 2021, vol. 31, no. 12. DOI: 10.1142/S021812742150187X

Rosenstein M.T., Collins J.J. (1994) Reconstruction expansion as a geometry-based framework for choosing proper delay times. Physica D Nonlinear Phenomena, 1994, vol. 73, no. 1-2, pp. 82-98. DOI: 10.1016/0167-2789(94)90226-7

Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., Vastano J.A. (1985) Determining Lyapunov exponents from a time series. Physica D Nonlinear Phenomena, 1985, vol. 16, no. 3, pp. 285-317. DOI: 10.1016/0167-2789(85)90011-9

Пчелинцев А. Н. Об исследовании динамической системы четвёртого порядка с квадратичными нелинейностями // Математические методы в технологиях и технике. 2021. № 4. С. 11-15. DOI: 10.52348/2712-8873_MMTT_2021_4_11

Энеева Л. М. Неравенство Ляпунова для уравнения с производными дробного порядка с различными началами // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2019. Т. 28, № 3. С. 32-39. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-28-3-32-39

Efendiev B.I. (2022) An analogue of the Lyapunov inequality for an ordinary second-order differential equation with a fractional derivative and a variable coefficient. Bulletin of the Karaganda University. Mathematics Series, 2022, no. 2, pp. 83-92. DOI: 10.31489/2022M2/83-92

Romanov S.A., Dushin S.E., Shpakovskaya I.I. (2022) Construction of the domain of attraction based on Lyapunov functions for general nonlinear systems. Modern Science and Innovations, 2022, no. 3, pp. 10-19. DOI: 10.37493/2307-910X.2022.3.1

Садриддинов М. М. Построение функций Ляпунова для динамической системы дифференциальных уравнений // Политехнический вестник. Серия: Интеллект. Инновации. Инвестиции. 2021. № 4 (56). С. 9-14.

Коструб И. Д. Матрицы Гурвица, Ляпунова и Дирихле в вопросах устойчивости по Ляпунову // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2018. Т. 23, № 123. С. 431-436. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-123-431-436

Hartley T.T., Lorenzo C.F., Qammer H.K. (1995) Chaos in a fractional order Chua’s system. IEEE Transactions on Circuits and Systems, 1995, vol. 42, no. 8, pp. 485-490. DOI: 10.1109/81.404062

Trzaska Z. (2011) Matlab Solutions of Chaotic Fractional Order Circuits. Engineering Education and Research Using MATLAB, 2011, pp. 443-464. DOI: 10.5772/23144

Garrappa R. (2018) Numerical Solution of Fractional Differential Equations: A Survey and a Software Tutorial. Mathematics, 2018, vol. 6, no. 16, pp. 1-23. DOI: 10.3390/math6020016

Garrappa R. Predictor-corrector PECE method for fractional differential equations [Электронный ресурс]. MathWorks. The MathWorks, Inc. Швейцария. URL: https://ch.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/32918-predictor-corrector-pece-method-for-fractional-differential-equations (дата обращения: 04.02.2023).

Valerio D. Ninteger [Электронный ресурс]. MathWorks. The MathWorks, Inc. Швейцария. URL: https://ch.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/8312-ninteger (дата обращения: 02.02.2023).

Тепляков А. FOMCON Toolbox for MATLAB [Электронный ресурс] // MathWorks / The MathWorks, Inc. Швейцария. URL: https://ch.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/66323-fomcon-toolbox-for-matlab (дата обращения: 23.01.2023).

Moez F., Ichraf E.G. (2013) Synchronization of integer order and fractional order Chua’s systems using robust observer.Communications Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2013, vol. 18, no. 3, pp. 625-638. DOI: 10.1109/SSD.2011.5986786

Francisco G.A., Juan R.G., Manuel G.C., Roberto R.H. (2014) Fractional RC and LC electrical circuits. Ingenieria Investigacion y Tecnologia, 2014, vol. 15, no. 2, pp. 311-319. DOI: 10.1016/S1405-7743(14)72219-X

Elwakil A.S. Fractional-order circuits and systems: an emerging interdisciplinary research area. IEEE Circuits and Systems Magazine. 2010. Vol. 10. № 4. Pp. 40-50. DOI: 10.1109/MCAS.2010.938637

Ишмуков Д. А., Афанасьев В. В. Средства моделирования радиоэлектронной системы передачи информации с хаотической маскировкой псевдослучайными сигналами системы Чуа // Вестник молодежной науки России. 2019. № 3. С. 34.

Мамиконян Б. М., Меликян Т. А. Принципы построения электронных источников тока, управляемых напряжением // Вестник Национального политехнического университета Армении. Информационные технологии, электроника, радиотехника. 2018. № 2. С. 41-55.

Сергеев И. С., Петров В. М. Гиратор в источниках вторичного электропитания // Вестник Новгородского государственного университета. 2018. № 4 (110). С. 19-24.

Червинский Е. Н. Прямой расчет полосно-пропускающих фильтров // Известия высших учебных заведений России. Радиоэлектроника. 2022. Т. 25. № 6. С. 6-21. DOI: 10.32603/1993-8985-2022-25-6-6-21

Мрясов В. Д. Разработка установки по изучению закона Ома и законов Кирхгофа // Молодежная наука : труды XXVI Всероссийской студенческой научно-практической конференции КрИЖТ ИрГУПС, Красноярск, 2022. С. 106-110.

Chua L.O., Komuro M., Matsumoto T. (1986) The Double Scroll Family. IEEE Transactions on Circuits and Systems, 1986, vol. 33, no. 11, pp. 1072-1118. DOI: 10.1109/TCS.1986.1085869

Ahmad W.M., Sprott J. (2003) Chaos in fractional-order autonomous nonlinear systems. Chaos Solitons Fractals, 2003, no. 16, pp. 339-351. DOI: 10.1016/S0960-0779(02)00438-1

Евстифеев Е. В., Москаленко О. И. Применение метода расчета локальных показателей Ляпунова для анализа характеристик перемежающейся обобщенной синхронизации // Проблемы информатики. 2022. № 2 (55). С. 5-16. DOI: 10.24412/2073-0667-2022-2-5-16

Хатунцева О. Н. О стохастических свойствах динамического хаоса в системах автономных дифференциальных уравнений, типа системы Лоренца // Труды МАИ. 2020. № 112. С. 1. DOI: 10.34759/trd-2020-112-1

Kenya T., Mamoru O., Eiji O. (2023) Demonstration of chaos-based radio encryption modulation scheme through wired transmission experiments. IEICE Transactions on Communications, 2023, pp. 1-8. DOI: 10.1587/transcom.2022EBT0005

Datta A., Mukherjee A., Ghosh A. (2021) Simulation and Analysis of a Chaos-Masking Communication Scheme Based on Electronic Simulator for Electro-Optic Modulator with Noise. SN Computer Science, 2021, vol. 2, no. 4, pp. 1-9. https://doi.org/10.1007/s42979-021-00622-8

Petrzela J. (2022) Chaos in Analog Electronic Circuits: Comprehensive Review, Solved Problems, Open Topics and Small Example. Mathematics, 2022, vol. 10, no. 4108, pp. 1-2. https://doi.org/10.3390/math10214108