Modeling of Dynamics of Planetary Gears with Elements of the Increased Flexibility

Pushkarev I.A.

Abstract


The increased elements flexibility of planetary gear promotes load alignment in wheel meshing, but creates danger of undesirable vibrations emergence. The research problem of dynamics of planetary gears with elements of the increased flexibility is relevant. The planetary gear is presented by a set of solid bodies (gearwheels) connected by the springs modeling elastic constraints in gear pair. The flexible epicycle is presented in the form of gear rim parts and separate teeth with elastic constraint between them which are at present in meshing. The mathematical model of dynamics of the planetary mechanism is made on the basis of Lagrange’s equations of the second kind. Nine generalized coordinates are considered. The generalized forces are: moments of the engine, forces of friction and useful resistance; the moment caused by torsion of an elastic axle of a sun gearwheel; elastic forces in wheels meshing, in satellites axles, between separate teeth of an epicycle. As a first approximation it is considered that planetary carrier’s angular speed is constant. It is also accepted that the sum of the moments of the engine, forces of friction and useful resistance is equal to zero; and the mass center of the satellite with respect to the planetary carrier doesn’t move. The system of nine differential equations is reduced to two equations of free vibrations of the satellite and a sun gearwheel. The meshing rigidity is expressed via the Young modulus and face width of gearwheels. The moments of inertia of wheels are accepted as for continuous disks; masses of wheels are determined with account of the filling coefficient. Analytical dependences for natural frequencies of free vibrations of the satellite and a sun gearwheel owing to teeth flexibility are received. Influence of a sun gearwheel diameter and gear ratio of the planetary mechanism on values of natural frequencies is investigated. The conclusion is made for the influence of the increased compliance of planetary gear elements on undesirable vibrations of the satellite and the sun gearwheel.

Keywords


planetary gear; elements flexibility; dynamic; vibrations; natural frequency

Full Text

Введение Планетарные передачи нашли широкое распространение в технике благодаря хорошим массогабаритным показателям, сравнительно малым потерям мощности на трение, возможности реализации большого передаточного отношения. Наличие в зацеплении одновременно нескольких пар зубьев позволяет достичь высокой нагрузочной способности, что выгодно отличает эти передачи от рядных зубчатых передач [1, 2]. В последнее время разработаны новые конструкции планетарных передач с повышенной податливостью элементов передачи [3-5]. Такое исполнение планетарной передачи, с одной стороны, способствует выравниванию нагрузки в зацеплениях колес [6-8], с другой - создает опасность выхода передачи из строя в результате возникновения больших напряжений в податливых элементах передачи [9, 10], а также возникновения нежелательных колебаний [11, 12]. В связи с этим актуальной является задача исследования динамики новых конструкций планетарных передач [13-15]. Особенно это актуально для высоконагруженных планетарных механизмов, работающих при больших скоростях вращения [16, 17]. Динамическая модель колебаний планетарного механизма Зубчатая передача, которая в общем случае рассматривается как система с распределенными параметрами, может быть сведена к системе с сосредоточенными параметрами, а связи, наложенные на зубчатые колеса, заменены силами упругости, чтобы избежать принципиального различия дифференциальных уравнений, описывающих поведение элементов с распределенными и сосредоточенными параметрами [18]. В связи с этим динамическая модель планетарного редуктора представляет из себя набор твердых тел (зубчатых колес), соединенных пружинами, моделирующими упругие связи в зубчатых парах, а гибкий эпицикл представлен в виде частей обода и упруго связанных отдельных зубьев, находящихся в данный момент в зацеплении (рис. 1, 2). Рис. 1. Расчетная схема планетарного механизма в виде системы твердых тел Рис. 2. Податливые элементы 1, 2, 3-го неподвижного колеса b Математическая модель колебаний планетарного механизма составляется на основе уравнений Лагранжа второго рода Динамическая модель системы зубчатой пары должна учитывать поперечные и крутильные колебания колес [19]. В связи с этим обобщенными координатами являются: и - смещения центра масс сателлита gi из-за податливости оси; и - смещения участков гибкого колеса b с массами в момент прохождения i-го сателлита; и - смещения центра масс шестерни относительно неподвижной точки О из-за податливости вала; - абсолютный угол поворота водила в установившемся движении; - относительный угол поворота сателлита gi относительно положения сателлита в установившемся движении (из-за податливости зубьев); - относительный угол поворота шестерни относительно положения шестерни в установившемся движении (из-за податливости вала и зубьев). В соответствии с выбранными обобщенными координатами абсолютные угловые скорости сателлитов и солнечной шестерни равны суммам угловых скоростей в установившемся движении и относительных скоростей и В обобщенные силы входят: момент двигателя момент сил полезного сопротивления момент сил трения момент, обусловленный кручением упругого вала солнечной шестерни упругие силы в зацеплении колес b, g и g, a упругие реакции осей сателлитов gi со стороны водила h упругие силы между отдельными зубьями эпицикла Кинетическая энергия системы складывается из кинетических энергий смещаемых участков гибкого неподвижного колеса b; n сателлитов g; водила h; центральной (солнечной) шестерни а (рис. 1): После подстановки скоростей тел системы получена полная кинетическая энергия системы: Составлены уравнения Лагранжа второго рода по каждой из обобщенных координат. Таким образом, получена система из девяти дифференциальных уравнений второго порядка, первыми из которых являются уравнения по обобщенным координатам и (1) (2) Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений В первом приближении считается, что угловая скорость водила постоянна: Принимается также Центр масс сателлита относительно водила не перемещается: Тогда уравнения (1) и (2) принимают вид (3) (4) Уравнение (4) представляет собой уравнение второго порядка с разделяющимися переменными. После интегрирования и подстановки выражения для в уравнение (3) получено уравнение свободных колебаний сателлита вследствие податливости зубьев: где k - собственная частота: (5) Чтобы проанализировать влияние факторов на величину собственной частоты, использованы известные зависимости. Жесткость в зубчатом зацеплении определяется модулем упругости материала Е и шириной венца зубчатых колес: [20]. Моменты инерции колес I вычисляются как у сплошных дисков; массы колес определяются c учетом коэффициента заполнения сателлита и солнечной шестерни где r - плотность материала колес, - ширина венцов. Тогда В рассматриваемой схеме планетарной передачи Отсюда Принимается, что Па, r = = 7800 кг/м3, На рис. 3, 4 показаны зависимости собственной частоты от радиуса делительной окружности солнечной шестерни и передаточного отношения механизма i. Рис. 3. Собственная частота k при изменении радиуса солнечной шестерни Рис. 4. Собственная частота k при изменении передаточного отношения При принятых допущениях и солнечная шестерня имеет ту же собственную частоту k, но амплитуду колебаний в раз большую, чем амплитуда колебаний сателлита А. При и амплитуда колебаний солнечной шестерни вследствие податливости зубьев в 32 раза больше, чем амплитуда колебаний сателлита. Анализ результатов Таким образом, получена система дифференциальных уравнений динамики планетарной передачи с девятью степенями свободы. Путем ряда допущений получены аналитические зависимости для собственных частот сателлита и солнечной шестерни, совершающих колебания вследствие податливости зубьев. Собственные частоты зависят от упругих свойств и плотности материала зубчатых колес, размеров солнечной шестерни и передаточного отношения планетарного механизма. При увеличении диаметра солнечной шестерни собственная частота уменьшается. При увеличении передаточного отношения до значения собственная частота быстро уменьшается, при дальнейшем увеличении i уменьшение собственной частоты незначительно. Выводы Увеличение податливости элементов планетарной передачи со стальными зубчатыми колесами не приводит к уменьшению собственных частот колебаний, возникающих вследствие податливости зубьев, до значений угловых скоростей зубчатых колес и частот внешних воздействий. Это означает малую вероятность возникновения нежелательных колебаний в планетарных передачах вследствие податливости зубьев. Тем не менее значительная разница в амплитудах свободных колебаний солнечной шестерни и сателлита не исключает повышенных напряжений в зацеплении зубчатых колес. Кроме того, высокие значения собственных частот дают возможность разделения колебаний сателлитов и солнечной шестерни вследствие податливости зубьев и колебаний податливых осей сателлитов, то есть раздельного решения системы дифференциальных уравнений динамики планетарной передачи. Последнее необходимо для анализа влияния податливости осей сателлитов на динамические характеристики планетарной передачи.

Galleys

PDF (Русский)
References References

Equal strength optimal design of planetary gear transmission / W. Jiao, J. Yang, F. Ma, etc. // Nongye Jixie Xuebao. 2015. Vol. 46, no. 1. Pp. 359-364, 378.

Trubachev E., Savelyeva T., Pushkareva T. Practice of designe and production of worm gears with localized contact // Mechanisms and Machine Science. 2018. Vol. 51. Pp. 327-343.

Plekhanov F., Goldfarb V. Rational designs of planetary transmission, geometry of gearing and strength parameters // Mechanisms and Machine Science. 2016. Vol. 34. Pp. 285-300.

Plekhanov F. I., Ovsyannikov A. V. Load capacity of planetary transmission with internal gear engagement // Russian Engineering Research. 2011. Vol. 31, no. 9. Pp. 825-827.

Plekhanov F. I., Kuznetsov V. S. Deformability of elements of planetary transmission // Russian Engineering Research. 2010. Vol. 30, no. 6. Pp. 557-560.

Plekhanov F. I. Influence of gear deformability in a planetary transmission on the load distribution in tooth engagement // Russian engineering research. 2015. Vol. 35, no. 7. Pp. 485-488.

Plekhanov F. I. Deformability of units of a planetary gear and its effect on load distribution in gear meshes // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2015. Vol. 44, no. 3. Pp. 227-231.

Plekhanov F., Goldfarb V., Vychuzhanina E. Load distribution in meshing of planetary gearwheels and its influence on the technical and economic performance of the mechanism // Mechanisms and Machine Science. 2018. Vol. 51. Pp. 117-137.

Plekhanov F. I., Kuznetsov V. S. Deformability of elements of planetary transmission // Russian Engineering Research. 2010. Vol. 30, no. 6. Pp. 557-560.

Распределение нагрузки в зацеплениях колес рациональных конструкций планетарных передач и его влияние на технико-экономические показатели привода / Ф. И. Плеханов, Е. Ф. Вычужанина, И. А. Пушкарев, А. С. Сунцов // Вестник ИжГТУ имени М. Т. Калашникова. 2017. № 2. С. 29-35.

Plekhanov F., Pushkarev A., Pushkarev I. Influence of layout features and parameters of planetary gear on its dynamics and strength characteristics // Mechanisms and Machine Science. 2018. Vol. 51. Pp. 481-494.

Chaos control of planetary gear trainbased on strategy of speed disturbance / J. Wang, T. Li, G. Jin, etc. // Jixie Qiandu. 2016. Vol. 38, no. 1. Pp. 21-26.

Plekhanov F., Pushkarev A., Pushkarev I. Influence of layout features and parameters of planetary gear on its dynamics and strength characteristics // Mechanisms and Machine Science. 2018. Vol. 51. Pp. 481-494.

Sondkar P., Kahraman A. A Dynamic Model of a Double-helical Planetary Gear Set // Mechanism and Machine Theory. 2013. Vol. 70. Pp. 157-174.

Nikolic-Stanojevic V., Dolicanin C., Veljovic L. A new model of the fractional order dynamics of the planetary gears // Mathematical Problems in Engineering. 2013. Vol. 2013. Pp. 932150.

Chaos control of planetary gear trainbased on strategy of speed disturbance / J. Wang, T. Li, G. Jin, etc. // Jixie Qiandu. 2016. Vol. 38, no. 1. Pp. 21-26.

Batinic V. J. Planetary gear dynamic response to mesh // Vojnotehnicki glasnik. 2013. Vol. 61, no. 1. Pp. 58-68.

Вибрации в технике : cправочник. Т. 3 : Колебания машин, конструкций и их элементов / под ред. Ф. М. Диментберга и К. С. Колесникова. М. : Машиностроение, 1980. 544 с.

Там же.




DOI: http://dx.doi.org/10.22213/2413-1172-2018-2-43-48

Article Metrics

Metrics Loading ...

Metrics powered by PLOS ALM


Copyright (c) 2018 Bulletin of Kalashnikov ISTU

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.


ISSN 1813-7903 (Print)
ISSN 2413-1172 (Online)